puterea exponențială a lui 10%

Am citit de curând un articol intitulat „Puterea lui „10%”, despre optimiști și pesimiști. Conform articolului, optimistul crede că o rată de succes de 10% este bună, iar pesimistul, că e rea. Ca urmare, optimistul muncește cu zel, iar pesimistul renunță repede. Pe scurt, e bine să fii optimist.

Când am văzut titlul „Puterea lui 10%”, m-am așteptat ca subiectul să fie altul. Cuvântul „putere” lângă un număr mi-a sugerat imediat operația aritmetică de ridicare la putere. Cele două subiecte, optimiști-contra-pesimiști pe de-o parte și ridicare-la-putere pe de altă parte, par complet distincte. Dar nu sunt complet distincte. Voi lămuri aici o legătură dintre ele. Ca exemplu, voi folosi o poveste a abandonului școlar. Povestea a fost spusă în Decât o Revistă sub titlul „Generația Abandonată”, și este povestea care a inspirat și „Puterea lui 10%”.

Din „Generația Abandonată” am aflat că abandonul școlar a fost de 17,4% în 2012, iar Uniunea Europeană ne cere să îl reducem la 11,3% până în 2020. Pentru a atinge acastă țintă, este oare suficientă o reducere de 10% aplicată anual? Cu alte cuvinte, o reducere de 10% aplicată anual este bună sau rea?

La prima vedere, întrebarea pare foarte simplă. Dacă abandonul școlar este de 17,4% în 2012 și se reduce cu 10% în fiecare an, atunci este

17.4\% \times (1-10\%)=15.7\% în 2013
15.7\% \times (1-10\%)=17.4\%\times (1-10\%)^2=14.1\% în 2014
14.1\% \times (1-10\%)=17.4\%\times (1-10\%)^3=12.7\% în 2015
12.7\% \times (1-10\%)=17.4\%\times (1-10\%)^4=11.4\% în 2016
11.4\% \times (1-10\%)=17.4\%\times (1-10\%)^5=10.3\% în 2017

Ținta este atinsă cu 3 ani mai devreme. Vedem deja mai sus cum apare ridicarea la putere: așa se acumulează o reducere procentuală. Putem vizualiza cum se acumulează scăderile procentuale cu ajutorul unui grafic:

exp_red

Și în acest grafic vedem că o reducere anuală de 10% este mai mult decât suficientă pentru a ne atinge ținta de 11,3% abandon școlar în 2020. Mai mult, o reducere anuală de 30% echivalează practic cu eliminarea completă a abandonului școlar până în 2020.

La a doua vedere, lucrurile nu sunt chiar atât de simple. Încă nu este clar ce înseamnă numerele de mai sus.

De exemplu, ce înseamnă că „abandonul școlar este de 17,4%”? Găsim definiția în „Generația Abandonată”: „procentul din populația de 18–24 de ani care a finalizat cel mult gimnaziul și care nu este cuprinsă în nici o formă de educație sau formare profesională”. Această definiție însemnă că o persoană care a terminat liceul nu contribuie la „abandonul școlar de 17,4%”, dar o persoană care a abandonat școala înainte de a termina liceul contribuie. Există și situații mai speciale, cum ar fi oameni care abandonează școala doar pentru câțiva ani. Voi ignora astfel de situații: le las pentru a treia vedere.

Definiția abandonului școlar de mai sus ne atrage atenția asupra aspectului temporal. În fiecare clasă, de la I la XII, sunt copii în pericol să abandoneze. Dar procentul cu care Uniunea Europeană măsoară abandonul școlar se uită numai la oamenii de 18–24 de ani, adică la cei care ar fi trebuit să termine liceul de curând.

Este timpul pentru câteva notații, pentru a ne ușura discuția.

a_6 este numărul de copii de 6 ani, dintre care b_6 merg la școală
a_7 este numărul de copii de 7 ani, dintre care b_7 merg la școală

a_{24} este numărul de copii de 24 ani, dintre care b_{24} merg la școală

Copiii care au acum 6 ani vor avea la anul 7 ani, așa că a_7 va avea la anul valoarea pe care o are acum a_6. Schimbările acestea sunt o complicație în plus. Hai să facem o simplificare:

a_6=a_7=\cdots=a_{24}=200{,}000

În felul acesta, nu contează dacă a_7 ia valoarea lui a_6, fiindcă sunt oricum egale. Am presupus aici că în fiecare an se nasc 200,000 de copii și nimeni nu moare înainte de 25 de ani.

O altă simplificare este că

b_{18}=b_{19}=\cdots=b_{24}

Această simplificare reflectă faptul că iau în considerare numai cicluri normale de 12 clase, de la 6 ani la 17 ani. Singura anormalitate pe care o iau în considerare este abandonul școlar. Alte excepții, cum ar fi repetenția sau abandonul temporar, nu sunt luate în considerare.

Ar fi o simplificare prea mare să forțăm toate b-urile să fie egale. Această simplificare ar echivala cu a spune că nu există abandon școlar.

Pentru a-uri, evoluția temporală nu e importantă pentru că toate a-urile sunt egale. Dar b-urile nu sunt toate egale, așa că e posibil ca evoluția lor temporală să fie importantă. Scriem b_{10}(2013) pentru numărul de copii de 10 ani care au mers la școală în anul 2013. În lipsa abandonului școlar, am avea că b_7(2014) este egal cu b_6(2013). Vom măsura abandonul școlar prin raportul acestor două cantități. În general,

\displaystyle\alpha(n,t)=\frac{b_{n+1}(t+1)}{b_n(t)}

Aici α reprezintă procentul de copii care continuă școala. În mod ideal, α este 100%. Observăm că în general α ar putea să depindă atât de vârsta n cât și de anul t. Dar, în cel mai simplu caz, α nu depinde nici de n nici de t: este o constantă.

Modelul de mai sus, ca orice model, nu corespunde întocmai realității. Să verificăm dacă nu cumva simplificările făcute sunt prea mari.

În „Generația Abandonată” găsim două statistici care ne permit să determinăm valoarea lui α:

  1. abandonul școlar la vârstele 18–24 este de 17,4% (în 2012)
  2. în ultimii 5 ani, abandonul școlar la clasele I–VIII a fost de 140,000 de copii

Dacă obținem pentru α două valori complet diferite folosind (1) și, respectiv, (2), atunci asta ar însemna că am făcut deja prea multe simplificări.

În modelul schițat mai sus, procentul celor care termină 12 clase este \alpha^{13}. Cum această valoare trebuie să fie 1-17,4%, găsim că α este 98,5%. Pe de altă parte, în fiecare an ar trebui să intre 200,000 de copii în sistemul educațional, dar numai o fracțiune de \alpha^9 termină cu succes clasa a VIII-a. Cum suntem într-o situație staționară (fără dependențe de t), trebuie ca diferența să fie egală cu numărul celor care au abandonat pe parcurs. Cu alte cuvinte,

200{,}000\times(1-\alpha^9)=140{,}000/5

Găsim de aici că α trebuie să fie 98,3%. Cele două valori obținute pentru α (98,5% și 98,3%) nu sunt foarte apropiate, dar nici prea depărtate. Pare că modelul de mai sus este suficient de bun.

Cum α este porțiunea de elevi care continuă cu success, complementul său 1-α este abandonul școlar anual. Acesta este acum undeva la nivelul 1%–2%. Vedem aici puterea (distructivă) a lui 2%: Dacă abandonul școlar anual e de 2%, rezultatul e că în 5 ani mai mult de 150,000 de copii părăsesc școala în clasele I-VIII. Și acest fenomen poate fi vizualizat grafic:

abandon-cumulat

Ce vedem în acest grafic? Linia orizontală verde punctată indică numărul de 140,000 de copii. În dreptul clasei 8 vedem că linia roșie intersectează linia verde punctată: adică abandonul școlar în clasele I-VIII pe o perioadă de 5 ani este într-adevăr aproximativ 140,000 atunci când abandonul anual este de 2%. Mai vedem că linia roșie ajunge în dreptul lui 200,000 în dreptul clasei 12, ceea ce corespunde unui abandon școlar la finalul liceului de aproximativ 20%. (Cum cel real e de 17,4%, înseamnă că abandonul anual e ceva mai mic de 2%. Într-adevăr, mai devreme am găsit 1,8%.) În sfârșit, mai vedem că un abandon școlar anual de 1% ne-ar face să avem un abandon școlar la sfârșitul clasei a XIIa cu doar puțin mai mare de 10%, adică aprope de ținta de 11,3% propusă de Uniunea Europeană.

Poate mai important, vedem aici ce s-ar întâmpla dacă abandonul școlar anual ar fi de 10%: până la sfârșitul clasei a XIIa, mai mult de 70% din copii ar abandona școala.

E mult sau puțin 10%? Dacă se acumulează în timp, atunci e mult.

Va atinge România ținta de 11,3% abandon școlar în 2020? Modelul de mai sus sugerează că ar trebui să avem abandon școlar anual de sub 1%. De fapt, modelul spune că dacă abandonul școlar anual este de 1% timp de 19 ani, atunci abandonul școlar pentru vârstele 18–24 va fi cam 10%. Avem mai puțin de 19 ani până în 2020, așa că reducerea trebuie să fie mai drastică. Aș ghici 0,5%: o școală cu 200 de elevi pe clasă, ar trebui să se asigure că cel puțin 199 de elevi continuă să vină în clasa următoare.

Anunțuri

3 păreri la “puterea exponențială a lui 10%

  1. o sa reiau analiza formulelor acasa, cu pixul, si nu la munca :). Mai am un argument :)
    Vreau sa adaug o observatie prima data de 10% am auzit la profesoara din Belgia. Profesoara a facut voluntariat si predat in tari din Africa (Congo, Algeria, Ghana, Coasta de Fildes etc) si are o varsta respectabila, copii casatoriti etc. Este membra a unor asociatii care se ocupa de educatie de zeci de ani. Asadar cifra 10% este confirmata de anii de practica cu persoane din categorii defavorizate, cu societati unde exemplu si conduita precedenta nu exista.
    Tu ai conturat modelul matematic, profesoara a venit cu exemple urmarite in curs de zeci de ani.

    O sa mai caut ceva asociatii locale si sa le cer un feedback eventual voi crea un contact catre asociatii similare din Ro, experienta lor ar fi colosala pentru romani. Una organizeaza (sper ca inca, intrecut sigur a organizat) actiuni similare in Romania, in zona iasului si Clujului.

    Apreciază

  2. si mi-am adus aminte ca iti sunt datoare cu un raspuns.
    Din una din cartile citite, imi aduc aminte ca evaluarea unei societati / grup de oameni se face nu dupa cat de sus e cel mai destept, ci de cat de jos sunt cei mai saraci cu duhul. Astfel ca exemplu celor de jos poate fi o inspiratie si incurajare de dezvoltare a celor de sus.
    Intr-o clasa in care toti elevii stiu sa citeasca (si sa inteleaga, e vital sa inteleaga – astazi sunt estimati aproape 50% din romani ca fiind analfabeti functionali – citesc si nu inteleg, nu pot executa, nu pot povesti ce au citit) – in acest grup va exista o sansa crescuta pentru circularea cartilor, si evident evolutia inclusiv a varfurilor. Un om muncitor si creativ va inspira si pe ceilalti, un om harnic intre lenesi va regresa.

    Apreciază

  3. la sfarsit de an scolar cei de la DoR au scris inca un articol: http://www.decatorevista.ro/dor-18-profesori-in-romania-uitata/
    Bilantul e crunt. Aproximativ jumatate din cadrele didactice vor sa abandoneze. Dar fiecare raporteaza o evolutie nemaipomenita a clasei, si ca mai mult de 10% din copii aparent pierduti au recuperat din lipsuri si vor continua scoala mai entuziasti.

    Teach for Romania vor sa extinda grupul si la anul sa aiba 30 cadre didactice. Daca mai cunosti cadre didactice cu entuziasm (sau studenti/tineri absolventi) : http://teachforromania.org/ .

    Apreciază

Răspunde

Completează mai jos detaliile tale sau dă clic pe un icon pentru a te autentifica:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s